形式化作为现代科学发现的秘密以虚构数问题为(6)

所有参照系间的转换以转换叠加为乘法组成一个群，它们符合以下公理：

1.闭合：两个参照系转换叠加得另外一个转换，对任意三个参照系，有：［K→K"］＝［K→K′］［ K′→K"］。

2.结合律：［K→K′］（ ［K′→K"］［ K"→K"′］）＝（［K→K′］［ K′→K"］）［ K"→K"′］

3.单位元：存在着保留参照系的单位转换：［K→K］

4.逆元：对任何参照系转换［K→K′］都有返回原参照系的转换［K′→K］

考虑K′原点的运动状态。在K′中，它的坐标是（t′， x′＝0），而在K中的坐标则是（t， x ＝ vt）。连接这两点的转换是：

因此我们得到：β＝－vα

反之，考虑K的原点在K′中的运动，我们得到：

因此：β＝－vγ

结合二者可知，α＝γ，转换矩阵简化如下：

考虑逆元，有两种从K′到K的方式。

第一种：将转换矩阵的逆矩阵作用于K′：

第二种：因为K′相对K的运动速度是v，那么K相对于K′的运动速度必然是－v，但是因为时空的各向同性，γ只能取决于速率而不取决于方向。也就是说γ（ －v） ＝γ（ v），因此有：

从而可知：γ2＋ vδγ＝ 1

根据闭合公理，两次转换的结合也是一个转换，因此两个矩阵的积也应该是具有相同形式的矩阵，［K→K"］＝［K→K′］［ K′→K"］：

在原初的转换矩阵中，主斜线上两项都是γ，因此，为了使结合的转换矩阵和原初转换矩阵的形式一样，主斜线的两项也必须相等，因此得到：

进而：

k必然是一个与相对速度无关的常数。

从γ2＋ vδγ＝ 1 可得到：

因此，与群公理一致的最普遍的转换矩阵为：

如果k＞ 0，那么就会导致时间有可能取负值，这在物理上是不可能的，因此只剩下两种可能：k＜ 0，k＝0。

如果k＜ 0，那么我们设，这就是速度上限，于是得到洛伦兹变换：

如果k＝0，我们就得到伽利略变换：

伽利略变换可以被视为洛伦兹变换的一种极限情况，此时，时间是绝对的，t′＝t，并且速度 v没有上限。

在我们的世界中，到底k＝0还是k＜0，最终只能靠实验验证。

我们不必在意推导的细节，只需注意，这一推导过程并没有从光速不变等物理假设出发，而是从更一般的形式出发。也没有给时间和空间下任何明确定义，而是以公理的方式给出了惯性系时空坐标转换所应遵循的规则。但这样做的同时，我们放弃了对所要考察的领域之原初意义的持守。当伽利略变换被写成

时，x，t和v就不再仅限于代表牛顿体系中的空间、时间和速度了，而成了任何满足这一公式的“对象一般”的代表。在这个基础上，我们当然可以将之扩展为更一般的公式：

然后再通过参照系变换所应遵循的公理，确定转换矩阵的系数：

最后，再通过对k的不同解释，排除不符合时间性质的变换，分别得到伽利略变换和洛伦兹变换。到了这一步，我们从数学形式的领域又回到了物理世界，而我们对时空的性质的看法却加深了。我们发现，由伽利略变换所体现的绝对时空观只不过是洛伦兹变化所体现的相对时空观的极限情况。甚至时光倒流这种极端的时空意义也在k＞ 0的数学可能性中预先准备好了。如果有一天我们发现数学再一次跑在了物理学的前面，这其实一点也不奇怪，因为如胡塞尔所言：

就像是物理学家，当他获得了一个线性微分方程时，他马上就知道：这是一种数学形式，它已经由数学家们完全在理论上完成了，人们只需查找，并且将解决形式运用到被给予的特殊情况之中……数学家已经在理论上以形式的普遍性导出了一切形式上可能的后果。因而，这里还能做的只是运用、归类，然后事情就完成了。①胡塞尔：《逻辑学与认识论导论》（ 1906—1907年讲座），郑辟瑞译，北京：商务印书馆2016年版，第128页。

文章来源：《现代科学仪器》 网址: http://www.xdkxyq.cn/qikandaodu/2021/0616/485.html